题目内容
15．非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{b}$|，且（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的大小为（ ）| A． | $\frac{π}{3}$ | B． | $\frac{π}{4}$ | C． | $\frac{2π}{3}$ | D． | $\frac{3π}{4}$ |
分析 由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，再由向量夹角公式，计算即可得到所求值．
解答 解：若（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$），
则（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）=0，
即有2$\overrightarrow{a}$2-3$\overrightarrow{b}$2+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
由|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{b}$|，可得$\overrightarrow{a}$2=2$\overrightarrow{b}$2，
即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\overrightarrow{b}$2，
cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-{\overrightarrow{b}}^{2}}{\sqrt{2}{\overrightarrow{b}}^{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞≤π，
可得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的大小为$\frac{3π}{4}$．
故选：D．
点评 本题考查向量的夹角的大小，考查向量数量积的夹角公式和性质：向量的平方即为模的平方，属于中档题．
