题目内容
5.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)与g(x)=logbx(b>0且b≠1)(1)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象关于x轴对称,求($\frac{1}{2}$)${\;}^{lo{g}_{2}(ab)}$的值;
(2)当x∈[2,+∞)时,总有|f(x)|>1成立,求a的取值范围.
分析 (1)由对数函数f(x)的图象与g(x)的图象关于x轴对称,得ab=1,再计算($\frac{1}{2}$)${\;}^{lo{g}_{2}(ab)}$的值;
(2)讨论a>1与0<a<1时,在x∈[2,+∞)时化简|f(x)|>1,求出a的取值范围.
解答 解:(1)∵函数f(x)=logax(a>0且a≠1)与g(x)=logbx(b>0且b≠1),
且函数f(x)的图象与函数g(x)的图象关于x轴对称,
∴ab=1,
∴($\frac{1}{2}$)${\;}^{lo{g}_{2}(ab)}$=${(\frac{1}{2})}^{{log}_{2}1}$=${(\frac{1}{2})}^{0}$=1;
(2)若a>1,则当x∈[2,+∞)时,|f(x)|>1可化为
logax>1,即x>a;
∴a<x,即1<a<2,
∴a的取值范围是(1,2);
若0<a<1,则当x∈[2,+∞)时,|f(x)|>1可化为
logax<-1,即x>$\frac{1}{a}$;
∴a>$\frac{1}{x}$,即$\frac{1}{2}$<a<1,
∴a的取值范围是($\frac{1}{2}$,1).
点评 本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题,也考查了分类讨论思想的应用问题,是基础题目.
练习册系列答案
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