Question

已知正△PAB与△ABC所在平面垂直，且AB=

3

，AC=2，BC=1，M，N分别是AC、PB的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥PA；
（Ⅱ）求异面直线MN与PA所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明BC⊥AB，利用仔细与平面垂直的性质定理证明BC⊥平面PAB，推出BC⊥PA．
（Ⅱ）取AB中点O，连接MO，NO，得到∠MNO为异面直线MN与PA所成的角，通过解三角形求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵AB=

3

，AC=2，BC=1，∴AB²+BC²=AC²，
∴BC⊥AB             …（3分）
又∵面PAB⊥面ABC，交线为AB，BC?面ABC
∴BC⊥平面PAB．…（6分）
∴BC⊥PA．…（7分）
（Ⅱ）取AB中点O，连接MO，NO，
∵N是PB的中点，∴NO∥PA，
∴∠MNO为异面直线MN与PA所成的角．…（10分）
∵MO∥BC，由（Ⅰ）可得MO⊥平面PAB．
在直角三角形MNO中，MO=

1

2

，NO=

3

2

，
∴tan∠MNO=

3

3

，∠MNO=30°，
∴异面直线MN与PA所成的角为30°．…（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定与性质的应用，异面直线所成角的求法，考查计算能力．