Question

设△ABC的顶点A（-4，0），B（4，0），且sinA-sinB=

1

2

sinC，则第三个顶点C的轨迹方程是

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程,正弦定理

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：sinA-sinB=

1

2

sinC，由正弦定理得a-b=

1

2

c，即|CB|-|CA|=4＜8=|AB|，由双曲线的定义可知点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的左支，且a=2，c=4，即可得出结论．

解答： 解：∵sinA-sinB=

1

2

sinC，由正弦定理得a-b=

1

2

c，即|CB|-|CA|=4＜8=|AB|，
由双曲线的定义可知点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的左支，且a=2，c=4，
∴b²=c²-a²=12．
∴顶点C的轨迹方程为

x2

4

-

y2

12

=1（x＜-2）．
故答案为：

x2

4

-

y2

12

=1（x＜-2）

点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，判断点C的轨迹是以B、A为焦点的双曲线一支，是解题的关键．