Question

在△ABC中，AC=6，BC=7，cosA=

1

5

，O是△ABC的内心，在△ABC内随机任取一点P，则取到满足条件

OP

=x

OA

+y

OB

（0≤x≤1且0≤y≤1）时的点P的概率为（　　）

• A、

  5

  9

• B、

  5

  18

• C、

  6

  18

• D、

  6

  9

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：根据条件

OP

=x

OA

+y

OB

（0≤x≤1且0≤y≤1），确定P对应的区域，利用几何槪型求出对应的平面区域的面积即可得到结论．

解答： 解：∵

OP

=x

OA

+y

OB

（0≤x≤1且0≤y≤1），
∴动点P的轨迹是以OA，OB为邻边的平行四边形ADBO的内部（含边界），
∵AC=6，BC=7，cosA=

1

5

，
BC²=AC²+AB²-2AB×AC×cosA
∴49=36+AB²-2×6×AB×

1

5

，
∴5AB²-12AB-65=0，
解得：AB=5，sinA=

1-cos2A

=

2 6

5

，
∴S_△ABC=

1

2

×6×5×

2 6

5

=6

6

，
设△ABC内切圆半径为r，则

1

2

×(5+6+7)r=6

6

，
∴r=

2 6

3

∴S_△AOB=

1

2

×AB×r=

1

2

×5×

2 6

3

=

5 6

3

，
∴满足条件

OP

=x

OA

+y

OB

（0≤x≤1且0≤y≤1）时的点P的概率P=

S△AOB

S△ABC

=

5 6 3

6 6

=

5

18

．
故选：B．

点评：本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用向量数量积的意义，确定P的轨迹是解决本题的关键．