题目内容
设数列{an}满足：a1=1,a2=
,an+2=
an+1-
an(n=1,2,…),(1)令bn=an+1-an(n=1,2,…),求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和Sn.
思路分析：第(1)问求数列{bn}的通项公式应首先判断数列{bn}的性质，即{bn}为等比数列.第(2)问的解答思路为：根据{bn}的通项公式再求出{an}的通项公式，进而再求数列{nan}的前n项和Sn，问题便可迎刃而解.
解：(1)因bn+1=an+2-an+1=an+1-an-an+1=(an+1-an)=
bn,故{bn}是公比为
的等比数列，且b1=a2-a1=
,故bn=(
)n(n=1,2,…).
(2)由bn=an+1-an=(
)n,得
an+1-a1=(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)
=(
)n+(
)n-1+…+(
)2+
=2［1-(
)n］.
注意到a1=1,可得an=3-
(n=1,2,…).
记数列{
}的前n项和为Tn,
则Tn=1+2·
+…+n·(
)n-1,
Tn=
+2·(
)2+…+n·(
)n.
两式相减得
Tn=1+
+(
)2+…+(
)n-1-n(
)n=3［1-(
)n］-n(
)n.
故Tn=9［1-(
)n］-3n(
)n=9-
.
从而Sn=a1+2a2+…+nan
=3(1+2+…+n)-2Tn
=
n(n+1)+
-18.
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