Question

设数列{a_n}满足a₁=0，a_n+1=ca_n³+1-c，n∈N^*，其中c为实数
（1）证明：a_n∈[0，1]对任意n∈N^*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
（2）设0＜c＜

1

3

，证明：a_n≥1-（3c）^n-1，n∈N^*；
（3）设0＜c＜

1

3

，证明：

a

2 1

+

a

2 2

+…

a

2 n

＞n+1-

2

1-3c

，n∈N*．

Answer 1

分析：（1）先证明必要性：a₂∈[0，1]?c∈[0，1]，再证明充分性：设c∈[0，1]，对n∈N^*用数学归纳法证明a_n∈[0，1]．
（2）设0＜c＜

1

3

，当n=1时，a₁=0，结论成立．当n≥2时，a_n=ca_n-1³+1-c，1-a_n=c（1-a_n-1）（1+a_n-1+a_n-1²），所以1+a_n-1+a_n-1²≤3且1-a_n-1≥0，由此能够导出a_n≥1-（3c）^n-1（n∈N^*）．
（3）设0＜c＜

1

3

，当n=1时，

a

2 1

=0＞2-

2

1-3c

，结论成立．当n≥2时，a_n²≥（1-（3c）^n-1）²=1-2（3c）^n-1+（3c）^2（n-1）＞1-2（3c）^n-1，所以

a

2 1

+

a

2 2

+…

a

2 n

＞n+1-

2

1-3c

，n∈N*．

解答：解：（1）必要性：∵a₁=0，∴a₂=1-c，
又∵a₂∈[0，1]，∴0≤1-c≤1，即c∈[0，1]
充分性：设c∈[0，1]，对n∈N^*用数学归纳法证明a_n∈[0，1]
当n=1时，a₁=0∈[0，1]．假设a_k∈[0，1]（k≥1）
则a_k+1=ca_k³+1-c≤c+1-c=1，且a_k+1=ca_k³+1-c≥1-c=≥0
∴a_k+1∈[0，1]，由数学归纳法知a_n∈[0，1]对所有n∈N^*成立

（2）设0＜c＜

1

3

，当n=1时，a₁=0，结论成立，
当n≥2时，∵a_n=ca_n-1³+1-c，
∴1-a_n=c（1-a_n-1）（1+a_n-1+a_n-1²）
∵0＜C＜

1

3

，由（1）知a_n-1∈[0，1]，所以1+a_n-1+a_n-1²≤3且1-a_n-1≥0
∴1-a_n≤3c（1-a_n-1）
∴1-a_n≤3c（1-a_n-1）≤（3c）²（1-a_n-2）≤≤（3c）^n-1（1-a₁）=（3c）^n-1
∴a_n≥1-（3c）^n-1（n∈N^*）
（3）设0＜c＜

1

3

，当n=1时，

a

2 1

=0＞2-

2

1-3c

，结论成立
当n≥2时，由（2）知a_n≥1-（3c）^n-1＞0
∴a_n²≥（1-（3c）^n-1）²=1-2（3c）^n-1+（3c）^2（n-1）＞1-2（3c）^n-1
∴a₁²+a₂²+…+a_n²=a₂²+…+a_n²＞n-1-2[3c+（3c）²+…+（3c）^n-1]
=n-1-2×

3c[1-(3c)n-1]

1-3c

=n-1-2×

3c-(3c)n

1-3c

=n+1-

2(1-(3c)n)

1-3c

＞n+1-

2

1-3c

点评：本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选用证明方法．