题目内容
设n∈N*，不等式组
所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）设数列{an}满足a1=x1，an=
(
+
+…+
)，(n≥2)，求证：n≥2时，
-
=
；
（3）在（2）的条件下，比较(1+
)(1+
)…(1+
)与4的大小．
|
（1）求（xn，yn）；
（2）设数列{an}满足a1=x1，an=
| y | 2 n |
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| an+1 | ||
(n+1
|
| an | ||
|
| 1 | ||
|
（3）在（2）的条件下，比较(1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
分析：（1）由-nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因为x∈N*，所以x=1，从而x=1与y=-nx+2n的交点为（1，n），即所以Dn内的整点（xn，yn）为（1，n）
（2）先化简为
=
+
+…+
，两式相减即可证得
（3）先猜想：n∈N*时，(1+
)(1+
)…(1+
)＜4，再利用（2）的结论可以证明．
（2）先化简为
| an |
| n2 |
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
(n-1
|
（3）先猜想：n∈N*时，(1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
解答：解：（1）由-nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因为x∈N*，所以x=1
又x=1与y=-nx+2n的交点为（1，n），所以Dn内的整点，按由近到远排列为：
（1，1），（1，2），…，（1，n）------------------（4分）
（2）证明：n≥2时，an=
(
+
+…+
)=n2(
+
+…+
)
所以
=
+
+…+
，
=
+
+…+
两式相减得：
-
=
------------------（9分）
（3）n=1时，1+
=2＜4，n=2时，(1+
)(1+
)=
＜4
可猜想：n∈N*时，(1+
)(1+
)…(1+
)＜4------------------（11分）
事实上n≥3时，由（2）知
=
所以(1+
)(1+
)…(1+
)=
•
•
•…•
=
•
•[
•
•…•
]•(1+an)
=2•
•(
)2•(
)2•…•(
)2•(
)2•an+1
=
=2(
+
+
+…+
) …(13分)
＜2[1+
+
+…+
]
=2(1+1-
+
-
+…+
-
)＜4-----（15分）
又x=1与y=-nx+2n的交点为（1，n），所以Dn内的整点，按由近到远排列为：
（1，1），（1，2），…，（1，n）------------------（4分）
（2）证明：n≥2时，an=
| y | 2 n |
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
(n-1
|
所以
| an |
| n2 |
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
(n-1
|
| an+1 |
| (n+1)2 |
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
两式相减得：
| an+1 | ||
(n+1
|
| an | ||
|
| 1 | ||
|
（3）n=1时，1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 5 |
| 2 |
可猜想：n∈N*时，(1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
事实上n≥3时，由（2）知
| 1+an | ||
|
| n2 | ||
(n+1
|
所以(1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
| 1+a1 |
| a1 |
| 1+a2 |
| a2 |
| 1+a3 |
| a3 |
| 1+an |
| an |
=
| 1+a1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1+a2 |
| a3 |
| 1+a3 |
| a4 |
| 1+an-1 |
| an |
=2•
| 1 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| n-1 |
| n |
| n |
| n+1 |
=
| 2an+1 |
| (n+1)2 |
| 1 |
| 12 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| n2 |
＜2[1+
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| (n-1)×n |
=2(1+1-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
点评：本题以线性规划为载体，考查数列、不等式的证明，应注意充分挖掘题目的条件，合理转化
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+
+…+
)(n≥2),求证：n≥2时，
；
)(1+
)…(1+
)与4的大小.
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，求证：n≥2时，
；
与4的大小．
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，求证：n≥2时，
；
与4的大小．