Question

已知f(x)=

1

4x+m

(m＞0)，当x₁、x₂∈R且x₁+x₂=1时，总有f(x1)+f(x2)=

1

2

．
（1）求m的值；
（2）设数列a_n满足an=f(

0

n

)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)，求a_n的通项公式．

Answer 1

分析：（1）根据题意，取，取x1=x2=

1

2

求得f（

1

2

）的值，进而根据函数解析式求得m的值．进而把m代入函数解析式求得f（x₁）+f（x₂）=

1

2

恒成立，进而可知m的值．
（2）an=f(

0

n

)+f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n

n

)，an=f(

n

n

)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

0

n

)两式，根据已知条件求得2an=

n+1

2

，进而求得a_n．

解答：解：（1）依题意，取x1=x2=

1

2

得f(

1

2

)=

1

4

，
即

1

4 +m

=

1

4

，所以m=2．
当m=2时，?x₁、x₂∈R，x₁+x₂=1，
有f(x1)+f(x2)=

1

4x1+2

+

1

4x2+2

═

4+(4x1+4x2)

4x1+x2+2(4x1+4x2)+4

=

1

2

，
所以m=2．
（2）an=f(

0

n

)+f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n

n

)，an=f(

n

n

)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

0

n

)
两式相加，并由已知得2an=

n+1

2

，
所以an=

n+1

4

．

点评：本题主要考查了恒等、定值问题，倒序相加求数列通项，考查了学生综合运用所学知识的能力．