Question

【题目】在 (n≥2)个实数组成的n行n列的数表中， 表示第i行第j列的数，记． 若｛-1,0,1} ()，且r1,r2,…,rn,c1,c2,..,cn，两两不等，则称此表为“n阶H表”，记

H={ r1,r2,…,rn,c1,c2,..,cn}.

(I）请写出一个“2阶H表”;

(II）对任意一个“n阶H表”，若整数，且，求证： 为偶数；

(Ⅲ）求证：不存在“5阶H表”.

Answer 1

【答案】（I）见解析;（II）见解析;（III）见解析.

【解析】试题分析：（I）由单一即可写出；

（II）对任意一个“阶表”， 表示第行所有数的和， 表示第列所有数的和

（），可知 . 进而得到 .所以 为偶数.

（III）假设存在一个“阶表”，则由（II）知，且和至少有一个成立，不妨设.

设，则，于是，因而可设，

， .

分①若 3是某列的和，②若3是某行的和，讨论均可得出矛盾，综上，不存在“5阶表”.

试题解析：

（I）;

（II）对任意一个“阶表”， 表示第行所有数的和， 表示第列所有数的和

（）. 与均表示数表中所有数的和，所以 .

因为，所以只能取内的整数.

又因为互不相等， 且，

所以，

所以 .

所以 为偶数.

（III）假设存在一个“阶表”，则由（II）知，且和至少有一个成立，不妨设.

设，则，于是，因而可设，

， .

①若 3是某列的和，由于，故只能是前四列某列的和，不妨设是第一列，即.现考虑，只能是或，不妨设，即，由两两不等知两两不等，不妨设，若则；若则；若则，均与已知矛盾.

②若3是某行的和，不妨设，则第4行至少有3个1，若这3个1是前四个中某三个数，不妨设，则第五行前三个数只能是3个不同的数，不妨设

，则矛盾，故第四行只能前四个数有2个1，第五个数为1，不妨设，所以，第五行只能是2个0，3个或1个1，4个.则至少有两个数相同，不妨设，则与已知矛盾.

综上，不存在“5阶表”.