Question

（本小题满分14分）已知椭圆C：的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.

（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求的值；

（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，－1）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用条件“焦距为4，其长轴长和短轴长之比为”列方程求出的值从而确定椭圆的标准方程.

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标是（2，0）. 设直线PQ的方程为x＝my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去得到关于的一元二次方程，于是可利用韦达定理与两直线的位置关系确定的值.（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线上任意一点可得，点T点的坐标为.利用两点间的距离公式将表示成的函数，最后利用函数或不等式的方法求出其取得最小值时的值，从而确定T点的纵坐标..

试题解析：【解析】
（Ⅰ）由已知可得

解得a2＝6，b2＝2，

所以椭圆C的标准方程是. （4分）

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标为（2，0）.

由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为x＝my+2.

将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

消去x，得（m2＋3）y2+4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8（m2＋3）>0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，.

于是.

设M为PQ的中点，则M点的坐标为.

因为，所以直线FT的斜率为，其方程为.

当时，，所以点的坐标为，

此时直线OT的斜率为，其方程为.

将M点的坐标为代入，

得.解得. （8分）

（ⅱ）由（ⅰ）知T点的坐标为.

于是，

.

所以

.

当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值．

故当最小时，点的坐标是或． （14分）

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系综合问题.