Question

4．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{{a^1}＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其右焦点到直线x-y+$\sqrt{3}$=0的距离为$\sqrt{6}$．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线y=kx（k≠0）交椭圆C于M，N两点，椭圆右顶点为A，求证：直线AM，AN的斜率乘积为定值，并求出该定值．

Answer 1

分析 （I）利用右焦点到直线x-y+$\sqrt{3}$=0的距离为$\sqrt{6}$，求出c，利用离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出a，可得b，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线y=kx（k≠0）与椭圆C联立，可得（1+4k²）x²=4，求出直线AM和直线AN的斜率乘积，即可证明结论．

解答 解：（I）由题意，$\sqrt{6}$=$\frac{|c+\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}$，∴c=$\sqrt{3}$，
∵$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴a=2，
∴b=1，
∴椭圆C的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）由（I）可得椭圆右顶点A（2，0），由题意，直线AM和直线AN的斜率存在且不为0，
直线y=kx（k≠0）与椭圆C联立，可得（1+4k²）x²=4，
不妨设x_M＞x_N，∴x_M=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，x_N=-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
∴y_M=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$•k，y_N=-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$•k，
∴直线AM和直线AN的斜率的积=$\frac{k}{1-\sqrt{1+4{k}^{2}}}$•$\frac{k}{1+\sqrt{1+4{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{4}$
∴直线AM和直线AN的斜率乘积为定值-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查椭圆C的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．