Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+4}$．
（1）求证{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}为等比数列；
（2）求证：S_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}+4}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{{a}_{n}}+1$，由此能证明{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{4}{3}$为首项，以4为公比的等比数列．
（2）由∴$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{3}=\frac{{4}^{n}}{3}$，得a_n=$\frac{3}{{4}^{n}-1}$=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$），由此利用裂项求和法能证明S_n＜$\frac{3}{2}$．

解答 证明：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+4}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}+4}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{{a}_{n}}+1$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{3}=4（\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{3}）$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{4}{3}$为首项，以4为公比的等比数列．
（2）∵{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{4}{3}$为首项，以4为公比的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{3}=\frac{{4}^{n}}{3}$，∴a_n=$\frac{3}{{4}^{n}-1}$．
∴a_n=$\frac{3}{{4}^{n}-1}$=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$）．
∴S_n=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$）
=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$）＜$\frac{3}{2}$．
∴S_n＜$\frac{3．}{2}$．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和小于$\frac{4}{3}$的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列和裂项求和法的合理运用．