Question

1．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；   
（2）求x∈[-1，m]的值域；
（3）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（x）在x=1时，取得最小值1，设二次函数f（x）=a（x-1）²+1，代入x=0，y=3，解得a的值，即可得到f（x）的解析式；
（2）求出对称轴x=1，讨论对称轴和区间的关系，结合单调性求得最值，即可得到所求值域；
（3）求得对称轴x=1，可得2a＜1＜a+1，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）由题意可得f（x）在x=1时，取得最小值1，
设二次函数f（x）=a（x-1）²+1，
由f（0）=3，可得a+1=3，解得a=2，
则f（x）=2（x-1）²+1，即为f（x）=2x²-4x+3：
（2）由f（x）=2（x-1）²+1可得对称轴为x=1，
当-1≤m≤1时，区间[-1，m]为减区间，f（-1）取得最大值，且为9，
f（m）取得最小值，且为2m²-4m+3；
当1＜m≤3时，f（1）取得最小值，且为1，f（-1）取得最大值，且为9；
当m＞3时，f（x）在（-1，1）递减，在（1，m）递增，
即有f（1）取得最小值1，f（m）取得最大值，且为2m²-4m+3．
综上可得，当-1≤m≤1时，f（x）的值域为[2m²-4m+3，9]；
当1＜m≤3时，f（x）的值域为[1，9]；
当m＞3时，f（x）的值域为[1，2m²-4m+3]；
（3）由f（x）=2（x-1）²+1可得对称轴为x=1．
f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，可得
2a＜1＜a+1，
解得0＜a＜$\frac{1}{2}$．
则a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法和值域问题，以及单调性的判断，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．