Question

【题目】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；

(2) .

【解析】

（1）利用题意，证得二面角为，即可得到平面ACD⊥平面ABC；

（2）建立适当的空间直角坐标系，求得两个半平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值。

（1）由题意可得，,从而，

又是直角三角形，所以，

取AC的中点O，连接DO，BO，则，

又由是正三角形，所以，

所以是二面角的平面角,

在直角中，，

又，所以，故 ，

所以平面平面。

（2）由题设及（1）可知,,两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则

由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得 .

故,

设是平面的法向量，则，即，

令，则，即平面的一个法向量，

设是平面的法向量，则，

可得平面的一个法向量，

则，即二面角的余弦值为。