Question

【题目】已知椭圆过点，且离心率为，直线过点，是椭圆上关于对称的两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求直线在轴上的截距的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)根据已知得到a,b,c的方程组解方程组即得椭圆的标准方程.(2)先求出直线在在轴上的截距的表达式，再求k的范围，即得直线在轴上的截距的取值范围.

（1）依题意，，解得，

故椭圆的标准方程为.

（2）记直线与轴的交点为.

由题可知直线的斜率一定存在，故可设直线的方程为.

当时，直线的方程为，所以.

将直线的方程代入椭圆的方程，消去得.

设，线段的中点为，则

，代入直线的方程

得，

将点的坐标代入直线的方程得.

又因为，

化简得.

将代入上式得，解得，

所以，且，

所以.

当时，直线的方程为，其在轴上的截距为0.

综上所述，在轴上的截距的取值范围为.