Question

已知实数x，y满足方程x²＋y²－4x＋1＝0.

       (1)求的最大值和最小值；

       (2)求y－x的最大值和最小值；

       (3)求x²＋y²的最大值和最小值．

Answer 1

解　原方程可化为(x－2)²＋y²＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．

(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1)．

所以的最大值为，最小值为－.

(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，

纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图2)．

所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.

(3)x²＋y²表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，

在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．

又圆心到原点的距离为

所以x²＋y²的最大值是(2＋)²＝7＋4，x²＋y²的最小值是(2－)²＝7－4.