Question

设斜率为的直线交椭圆：于两点，点为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设、都存在）．
（1）求×的值．
（2）把上述椭圆一般化为（＞＞０），其它条件不变，试猜想与关系(不需要证明)．请你给出在双曲线（＞０，＞０）中相类似的结论，并证明你的结论．

Answer 1

（1）
（2）略

解（一）：（1）设直线方程，代入椭圆方程并整理得:
,
,又中点M在直线上，所以，从而可得弦中点M的坐标为，，所以
解（二）设点，中点 则
   
又与作差得 所以
（2）对于椭圆，  
已知斜率为的直线交双曲线（＞０，＞０）于两点，点为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设、都存在）．
则×的值为．
（解一）、设直线方程为，代入（＞０，＞０）方程并整理得：
，，
所以，即  
(解二）设点中点
则     
又因为点在双曲线上，则与作差得
   即