Question

（本小题满分10分） 如图，已知椭圆C：，经过椭圆的右焦点F且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．（I）是否存在，使对任意，总有成立？若存在，求出所有的值；
（II）若，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）
（2）且k≠0

解：（1）椭圆C：
直线AB：y＝k（x－m）,                                          
，（10k²＋6）x²－20k²mx＋10k²m²－15m²＝0．  
设A（x₁, y₁）、B（x₂,y₂）,则x₁＋x₂＝，x₁x₂＝   
则x_m＝             
若存在，使为ON的中点，∴．
∴，
即N点坐标为．                           
由N点在椭圆上，则    
即5k⁴－2k²－3＝0．∴或（舍）．
故存在，使．··········5分                             
（2）＝x₁x₂＋k²（x₁－m）（x₂－m）
＝（1＋k²）x₁x₂－k²m（x₁＋x₂）＋k₂m²
＝（1＋k²）·     
由得    
即k²－15≤－20k²－12，且k≠0．··········10分