Question

13．设常数a∈R，函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-a}{{2}^{x}+a}$．
（1）若函数y=f（x）是奇函数，求实数a的值；
（2）当a＞0时，若存在区间[m，n]（m＜n），使得函数f（x）在[m，n]的值域为[2^m，2ⁿ]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由于函数y=f（x）是奇函数，可得f（-x）+f（x）=0，解出即可得出．
（2）a＞0时，f（x）=$\frac{{2}^{x}-a}{{2}^{x}+a}$=1-$\frac{2a}{{2}^{x}+a}$．可得函数f（x）在x∈[m，n]（m＜n）单调递增，分别由f（m）=2^m，f（n）=2ⁿ，化为：（2^m）²+（a-1）•2^m+a=0，（2ⁿ）²+（a-1）•2ⁿ+a=0，因此方程t²+（a-1）t+a=0由不相等的正实数根．可得△＞0，1-a＞0，a＞0，解出即可得出．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-a}{{2}^{x}+a}$=1-$\frac{2a}{{2}^{x}+a}$．
∵函数y=f（x）是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，
∴2-$\frac{2a}{{2}^{-x}+a}$-$\frac{2a}{{2}^{x}+a}$=0，化为：a²=1．
解得a=±1．
经过验证：a=±1都满足题意．
（2）a＞0时，f（x）=$\frac{{2}^{x}-a}{{2}^{x}+a}$=1-$\frac{2a}{{2}^{x}+a}$．
则函数f（x）在x∈[m，n]（m＜n）单调递增，
∴f（m）=1-$\frac{2a}{{2}^{m}+a}$=2^m，f（n）=1-$\frac{2a}{{2}^{n}+a}$=2ⁿ，
由1-$\frac{2a}{{2}^{m}+a}$=2^m，化为：（2^m）²+（a-1）•2^m+a=0，
由1-$\frac{2a}{{2}^{n}+a}$=2ⁿ，化为（2ⁿ）²+（a-1）•2ⁿ+a=0，
∴方程t²+（a-1）t+a=0有不相等的正实数根．
∴△=（a-1）²-4a＞0，1-a＞0，a＞0，
联立解得：$0＜a＜3-2\sqrt{2}$．
∴实数a的取值范围是$0＜a＜3-2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．