Question

设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：
（I）ξ的概率的分布列及期望Eξ；
（II）停车时最多已通过3个路口的概率．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意知ξ表示停车时已经通过的路口数，因为共有4个路口，ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，根据条件所给的在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为，做出变量对应不同数值时的概率，得到分布列和期望．
（II）停车时最多已通过3个路口的对立事件是停车时已经通过4个路口，根据上一问做出的通过4个路口的概率和对立事件的概率，得到结果．
解答：解：（I）由题意知ξ的所有可能值为0，1，2，3，4
用A_K表示“汽车通过第k个路口时不停（遇绿灯）”，
则P（A_K）=独立．
故，

，
，

从而ζ有分布列：


（II）
即停车时最多已通过3个路口的概率为．
点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率，对立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望，是一个近几年经常出现的概率问题，解题时注意分清事件的关系．