Question

设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为

3

4

，遇到红灯（禁止通行）的概率为

1

4

．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：
（Ⅰ）ξ的概率的分布列及期望Eξ；
（Ⅱ）停车时最多已通过3个路口的概率．

Answer 1

分析：（I）由题意知ξ表示停车时已经通过的路口数，因为共有4个路口，ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，根据条件所给的在每个路口遇到绿灯的概率为

3

4

，遇到红灯（禁止通行）的概率为

1

4

，做出变量对应不同数值时的概率，得到分布列和期望．
（II）停车时最多已通过3个路口的对立事件是停车时已经通过4个路口，根据上一问做出的通过4个路口的概率和对立事件的概率，得到结果．

解答：解：（I）由题意知ξ的所有可能值为0，1，2，3，4
用A_K表示“汽车通过第k个路口时不停（遇绿灯）”，
则P（A_K）=

3

4

(k=1，2，3，4)，且A1，A2，A3，A4独立．
故P(ξ=0)=P(

A1

)=

1

4

，
P(ξ=1)=P(A1•

A2

)=

3

4

×

1

4

=

3

16

P(ξ=2)=P(A1•A2•

A3

)=(

3

4

)2

1

4

=

9

64

，
P(ξ=3)=P(A1•A2•A3•

A4

)=(

3

4

)3

1

4

=

27

256

，
P(ξ=4)=P(A1•A2•A3•A4)=(

3

4

)4=

81

256

从而ζ有分布列：

Eξ=0×

1

4

+1×

3

16

+2×

9

64

+3×

27

256

+4×

81

256

=

525

256

（II）P(ξ≤3)=1-P(ξ=4)=1-

81

256

=

175

256

即停车时最多已通过3个路口的概率为

175

256

．

点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率，对立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望，是一个近几年经常出现的概率问题，解题时注意分清事件的关系．