Question

19．函数y=$\frac{2-sinθ}{1-cosθ}$的最小值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，把函数的解析式化为y=$\frac{{2sin}^{2}\frac{θ}{2}+{2cos}^{2}\frac{θ}{2}-2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}{1-（1-{2cos}^{2}\frac{θ}{2}）}$=${（cot\frac{θ}{2}-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$，再利用二次函数的性质求得它的最小值．

解答 解：y=$\frac{2-sinθ}{1-cosθ}$=$\frac{{2sin}^{2}\frac{θ}{2}+{2cos}^{2}\frac{θ}{2}-2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}{1-（1-{2cos}^{2}\frac{θ}{2}）}$=$\frac{{tan}^{2}\frac{θ}{2}+1-tan\frac{θ}{2}}{{tan}^{2}\frac{θ}{2}}$=${cot}^{2}\frac{θ}{2}$-cot$\frac{θ}{2}$+1=${（cot\frac{θ}{2}-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$，
故当cot$\frac{θ}{2}$=$\frac{1}{2}$时，函数y取得最小值为$\frac{3}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，二次函数的性质的应用，属于中档题．