Question

4．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第七组的人数为3人．
（Ⅰ）求第六组的频率；
（Ⅱ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取2人，记他们的身高分别为x，y，事件E={|x-y|≤5}，求事件E的频率P（E）；
（Ⅲ）对抽取的50名学生作调查，得到以下2×2列联表：

	喜欢打篮球	不喜欢打篮球	总计
身高超过175cm	20	6	26
身高不超175cm	5	19	24
总计	25	25	50

根据此表判断是否有99.9%的把握认为喜欢打篮球和身高超过175cm有关系．
参考公式：：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$（其中n=（a+b）（c+d）（a+c）（b+d））
参考数据：

P（K2≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.702	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出第七组的频率，即可求第六组的频率；
（Ⅱ）分别求出身高在[180，185）内和在[190，195）的人数，标号后利用列举法写出从中随机抽取两名男生的所有情况，查出满足|x-y|≤5的事件个数，然后利用古典概型概率计算公式求解；
（Ⅲ）求出K²，与临界值比较，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意，第七组的频率为$\frac{3}{50}$=0.06
∴第六组的频率为1-0.06-5×（0.008×2+0.016+0.04×2+0.06）=0.08；
（Ⅱ）在[180，185]内的人数为0.08×50=4人，设为a，b，c，d．身高在[190，195]的人数为0.008×5×50=2人，设为A，B．
若x，y∈[180，185]时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况．
若x，y∈[190，195]时，有AB共一种情况．
若x，y分别在[180，185]，[190，195]内时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况
所以基本事件的总数为6+8+1=15种，
事件|x-y|≤5所包含的基本事件个数有6+1=7种，故满足|x-y|≤5的事件概率P（E）=$\frac{7}{15}$；
（Ⅲ）由题意，K²=$\frac{50×（20×19-5×6）^{2}}{25×25×26×24}$≈15.705＞10.828，
∴有99.9%的把握认为喜欢打篮球和身高超过175cm有关系．

点评 本题考查了频率分布直方图，考查了古典概型及其概率计算公式，考查独立性检验知识的运用，考查了学生的读图能力，是中档题．