题目内容
已知y=f（x）为R上的连续可导的函数，当x≠0时，
，则关于x的方程
的根的个数为（ ）A．0
B．1
C．2
D．0或2
【答案】分析：欲求关于x的方程
的根的个数可转化成xf（x）+1=0的根的个数，令F（x）=xf（x）+1，根据条件讨论x的正负，得到函数的单调性，从而得到结论．
解答：解：∵当x≠0时，
，
∴
要求关于x的方程
的根的个数可转化成xf（x）+1=0的根的个数
令F（x）=xf（x）+1
当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0即F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增
当x＜0时，xf′（x）+f（x）＜0即F′（x）＜0，∴F（x）在（-∞，0）上单调递减
而y=f（x）为R上的连续可导的函数
∴xf（x）+1=0无实数根
故选A．
点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，以及导数运算和分离讨论的思想，属于中档题．
的根的个数可转化成xf（x）+1=0的根的个数，令F（x）=xf（x）+1，根据条件讨论x的正负，得到函数的单调性，从而得到结论．解答：解：∵当x≠0时，
，∴
要求关于x的方程
的根的个数可转化成xf（x）+1=0的根的个数令F（x）=xf（x）+1
当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0即F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增
当x＜0时，xf′（x）+f（x）＜0即F′（x）＜0，∴F（x）在（-∞，0）上单调递减
而y=f（x）为R上的连续可导的函数
∴xf（x）+1=0无实数根
故选A．
点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，以及导数运算和分离讨论的思想，属于中档题．
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