题目内容
已知y=f（x）为R上可导函数，当x≠0时，f′(x)+
＞0则关于x的函数g（x）=xf（x）+1的零点个数为（ ）
| f(x) | x |
分析：由g（x）=xf（x）+1=0得xf（x）=-1，然后利用导数研究函数xf（x）的单调性和极值，即可得到结论．
解答：解：由g（x）=xf（x）+1=0得xf（x）=-1，
设g（x）=xf（x），则g'（x）=f（x）+xf'（x）．
∵当x≠0时，f′(x)+
＞0，
∴当x≠0时，
＞0，
即当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞0，即g'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，
当x＜0时，xf'（x）+f（x）＜0，即g'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，
∴当x=0时，函数g（x）取得 极小值，同时也是最小值g（0）=0，
∴g（x）≥0，
∴g（x）=-1无解，
即函数g（x）=xf（x）+1的零点个数为0个．
故选C．
设g（x）=xf（x），则g'（x）=f（x）+xf'（x）．
∵当x≠0时，f′(x)+
| f(x) |
| x |
∴当x≠0时，
| xf′(x)+f(x) |
| x |
即当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞0，即g'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，
当x＜0时，xf'（x）+f（x）＜0，即g'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，
∴当x=0时，函数g（x）取得 极小值，同时也是最小值g（0）=0，
∴g（x）≥0，
∴g（x）=-1无解，
即函数g（x）=xf（x）+1的零点个数为0个．
故选C．
点评：本题主要考查函数零点个数的判断，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值是解决本题的关键，综合性较强，涉及的知识点较多．
练习册系列答案
相关题目