Question

已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，f′(x)+

f(x)

x

＞0，则关于x的函数g(x)=f(x)+

1

x

的零点个数为

 

．

Answer 1

分析：令g(x)=f(x)+

1

x

=0得f（x）=-

1

x

，即xf（x）=-1，然后利用导数研究函数xf（x）的单调性和极值，即可得到结论．

解答：解：令g(x)=f(x)+

1

x

=0，得f（x）=-

1

x

，
即xf（x）=-1，即零点满足此等式
不妨设h（x）=xf（x），则h'（x）=f（x）+xf'（x）．
∵当x≠0时，f′(x)+

f(x)

x

＞0，
∴当x≠0时，

xf′(x)+f(x)

x

＞0，
即当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞0，即h'（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，
当x＜0时，xf'（x）+f（x）＜0，即h'（x）＜0，此时函数h（x）单调递减，
∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，同时也是最小值h（0）=0，
∴h（x）≥0，
∴h（x）=-1无解，即xf（x）=-1无解
即函数g(x)=f(x)+

1

x

的零点个数为0个．
故答案为：0．

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值是解决本题的关键，综合性较强，涉及的知识点较多．