Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M∈AA₁，N∈AB，∠C₁MN=90°，B₁N=2MN，则∠MNB₁=

 

．

Answer 1

考点：空间向量的夹角与距离求解公式

专题：空间角

分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出∠MNB₁的大小．

解答： 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设M（1，0，b），N（1，a，0），A（1，0，0），B（1，1，0），
B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），

C1M

=（1，-1，b-1），

MN

=（0，a，-b），

B1N

=（0，a-1，-1），
∵∠C₁MN=90°，B₁N=2MN，
∴

C1M

•

MN

=-a+b（1-b）=0，∴a=b（1-b），
∴cos∠MNB₁=

NM • NB1

| NM |•| NB1 |

=

a2-a+b

2(a2+b2)

=

b2(1-b2)+b2

2[b2(1-b2)+b2]

=

1

2

，
∴∠MNB₁=60°．
故答案为：60°．

点评：本题考查空间角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力和向量法的合理运用．