Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=4，DE=2AB=6，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）若直线CD与平面ABED所成的角为

π

3

，∠CAD=

π

2

，求三棱锥B-AEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取DE的中点M，连接AM，FM，由已知得四边形ABEM是平行四边形，从而AM∥BE，进而AM∥平面BCE，
双MF∥CE，从而MF∥平面BCE，进而平面AMF∥平面BCE，由此能证明AF∥平面BCE．
（2）过F作FO⊥平面ABE，交AD于O，由已知得FO=OD•tan

π

3

=2

3

，S_△ABE=

1

2

（

3+6

2

×4-

1

2

×3×4）=6，由此能求出三棱锥B-AEF的体积．

解答： （1）证明：如图，取DE的中点M，连接AM，FM，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，又∵AB=FM=

1

2

DE，
∴四边形ABEM是平行四边形，∴AM∥BE，
又∵AM?平面BCE，BE?平面BCE，∴AM∥平面BCE，
∵CF=FD，DM=ME，∴MF∥CE，
又∵MF?平面BCE，CE?平面BCE，∴MF∥平面BCE，
又∵AM∩MF=M，∴平面AMF∥平面BCE，
∵AF?平面AMF，∴AF∥平面BCE．
（2）解：过F作FO⊥平面ABE，交AD于O，
∵F是CD中点，∠CAD=

π

2

，∴O是AD中点，∴OD=2，
∵直线CD与平面ABED所成的角为

π

3

，∴∠FDO=

π

3

，
∴FO=OD•tan

π

3

=2

3

，
∵S_△ABE=

1

2

（

3+6

2

×4-

1

2

×3×4）=6，
∴三棱锥B-AEF的体积：
V_B-AEF=V_F-ABE=

1

3

×FO×S△ABE=

1

3

×2

3

×6=4

3

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、线面平行的证明、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．