在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本.这40名学生的成绩全部在40分至100分之间.现将成绩按如下方式分成6组:第一组.成绩大于等于40分且小于50分,第二组.成绩大于等于50分且小于60分,-第六组.成绩大于等于90分且小于等于100分.据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中．内的学生人数及� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．

在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；…第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中．
（1）求成绩在区间[80，90）内的学生人数及成绩在区间[60，100]内平均成绩；
（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90，100]内的概率．

分析（1）由频率和为1求出成绩在区间[80，90）的频率，乘以样本容量可得成绩在区间[80，90）内的学生人数；然后分别求出各区间段内的人数，乘以对应矩形中点的横坐标，作和后除以学生人数得平均成绩；
（2）求出成绩在区间[80，90）内的学生有4人，记这四个人分别为a，b，c，d．成绩在区间[90，100]内的学生有2人，记这两个人分别为e，f，用枚举法列出事件总数，可得事件“至少有1名学生成绩在区间[90，100]之间”的基本事件数，作比得答案．

解答解：（1）∵各组的频率之和为1，
∴成绩在区间[80，90）的频率为1-（0.005×2+0.015+0.020+0.045）×10=0.1，
∴40名学生中成绩在区间[80，90）的学生人数为40×0.1=4，
成绩在区间[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]内的人数分别为18，8，4，2，
∴成绩在区间[60，100]内的平均成绩为$\frac{1}{32}×（{65×18+75×8+85×4+95×2}）=71.875$；
（2）设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，
至少有1名学生成绩在区间[90，100]内”，
由已知（1）的结果可知成绩在区间[80，90）内的学生有4人，
记这四个人分别为a，b，c，d．
成绩在区间[90，100]内的学生有2人，
记这两个人分别为e，f，则选取学生的所有可能结果为：$fe\left\{{\begin{array}{l}a\\ b\\ c\\ d\end{array}，ab\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.}\right.ac\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.ad\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.bc\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.bd\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.cd\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.abc，abd，acd，bcd$，
事件总数为20．
事件“至少有1名学生成绩在区间[90，100]之间”的可能结果为$fe\left\{{\begin{array}{l}a\\ b\\ c\\ d\end{array}，ab\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.}\right.ac\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.ad\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.bc\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.bd\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.cd\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}}\right.$，
基本事件为数16，
∴$P（A）=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}$．

点评本题考查频率分布直方图，考查学生读取图表的能力，训练了随机事件的概率的求法，属中档题．