Question

1．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+2ax}{{e}^{x-1}}$（α∈R，e是自然对数的底数），若曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=kx（k∈R），求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 求导数，利用曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=kx，求出a，再确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}+2ax}{{e}^{x-1}}$，
∴f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+（2-2a）x+2a}{{e}^{x-1}}$，
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=kx，
∴f′（1）=1=k，f（1）=1+2a=k，
∴k=1，a=0，
∴f′（x）=$\frac{-x（x-2）}{{e}^{x-1}}$，
令f′（x）＞0，可得0＜x＜2；f′（x）＜0，可得x＜0或x＞2，
∴函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（-∞，0），（2，+∞），
∴x=0时，函数取得极小值f（0）=0，x=2时，函数取得极大值$\frac{4}{e}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查求函数f（x）的极值，导数的几何意义，正确求出a是关键．