Question

设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a≥-1，求f（x）的单调区间．

Answer 1

由已知得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），且f′(x)=

ax-1

x+1

(a≥-1)，
（1）当-1≤a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递减，
（2）当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=

1

a

．f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表

x	(-1， 1 a )	1 a	( 1 a ，+∞)
f′（x）	-	0	+
f（x）		极小值

从上表可知
当x∈(-1，

1

a

)时，f′（x）＜0，函数f（x）在(-1，

1

a

)上单调递减．
当x∈(

1

a

，+∞)时，f′（x）＞0，函数f（x）在(

1

a

，+∞)上单调递增．
综上所述：
当-1≤a≤0时，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递减．
当a＞0时，函数f（x）在(-1，

1

a

)上单调递减，函数f（x）在(

1

a

，+∞)上单调递增．