Question

设函数f（x）=ax+

x

x-1

（x＞1），若a是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取一个数，求f（x）＞b恒成立的概率．

Answer 1

分析：先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，列举出结果．

解答：解：x＞1，a＞0，f(x)=ax+

x-1+1

x-1

=ax+

1

x-1

+1
=a(x-1)+

1

x-1

+1+a≥2

a

+1+a=(

a

+1)2，
当且仅当x=

1 a

+1＞1时，取“=”，∴f(x)min=(

a

+1)2，
于是f(x)＞b恒成立就转化为(

a

+1)2＞b成立．
设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则
基本事件总数为12个，即
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；
事件A包含事件：（1，2），（1，3）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个
由古典概型得P(A)=

10

12

=

5

6

．

点评：在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等．