Question

设函数f（x）=(a

x

-

1

x

)n，其中n=3

∫

2π π

sin（π+x）dx，a为如图所示的程序框图中输出的结果，则f（x）的展开式中常数项是（　　）

• A、-

  5

  2

• B、-160
• C、160
• D、20

Answer 1

分析：根据积分公式求出n，利用程序框图求出a的值，根据二项展开式的内容即可得到结论．

解答：解：n=3

∫

2π π

sin（π+x）dx=-3

∫

2π π

sinxdx=3cosx|

2π π

=6，
当i=1时，a=

1

1-2

=-1，
i=2时，a=

1

1-(-1)

=

1

2

，
i=3时，a=

1

1- 1 2

=2，
∴a的取值具备周期性，
当i=2013时，与i=3时相同，此时a=2，
当i=2014时，不满足条件i＜2014，输出a=2，
则f（x）=(a

x

-

1

x

)n=(2

x

-

1

x

)6，
∴展开式的常数项为

C

3 6

(2

x

)3•(-

1

x

)3=-8×

6×5×4

3×2×1

=-160，
故选：B．

点评：本题主要考查程序框图的应用，涉及的知识点有微积分的基本定理，以及二项展开式的基本内容，要求熟练掌握相应的公式．