题目内容
一环保部门对某处的环境状况进行了实地测量，据测定，该处的污染指数等于附近污染源的污染强度与该处到污染源的距离之比．已知相距30km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为1和4，它们连线上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．现拟在它们之间的连线上建一个公园，为使两化工厂对其污染指数最小，则该公园应建在距A化工厂 公里处．
考点：基本不等式
专题：导数的综合应用
分析：设该公园应建在距A化工厂xkm处，（0＜x＜30）．根据题意可得：两化工厂对其污染指数f（x）=
+
．再利用导数即可得出其最小值．
| 1 |
| x |
| 4 |
| 30-x |
解答：
解：设该公园应建在距A化工厂xkm处，（0＜x＜30）．
由题意可得：两化工厂对其污染指数f（x）=
+
．
∴f′(x)=-
+
=
，
令f′（x）=0，解得x=10．
当30＞x＞10时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当10＞x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=10时取得最小值，f（10）=0.3．
故答案为：10．
由题意可得：两化工厂对其污染指数f（x）=
| 1 |
| x |
| 4 |
| 30-x |
∴f′(x)=-
| 1 |
| x2 |
| 4 |
| (30-x)2 |
| 3(x+30)(x-10) |
| x2(30-x)2 |
令f′（x）=0，解得x=10．
当30＞x＞10时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当10＞x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=10时取得最小值，f（10）=0.3．
故答案为：10．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极小值最小值，属于中档题．
练习册系列答案
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