Question

已知平面内有一个五边形ABCEF，且关于线段BC对称（如图1所示），FE⊥CE，BF=FE=1，CB=CE=

3

，沿BC将平面ABCD折起，使平面ABCD⊥平面ECBF，连接AF、DE、AE得到如图2所示的几何体．
（1）证明：DE∥平面AFB；
（2）求二面角E-AD-B的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：几何法：
（1）作DQ∥AB交BC于点Q，连接EQ．由已知条件得EQ∥FB．所以DQ∥面AFB．同理：EQ∥面AFB．由此能证明DE∥平面AFB．
（2）延长DA、CB、EF，必交于一点G，过点B作BH⊥DG于点H，连接HF．由已知条件得∠BHF是二面角E-AD-B的平面角．由此能求出二面角E-AD-B的余弦值．
向量法：
（1）B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE∥平面AFB．
（2）分别求出平面ADEF的一个法向量和面ABCD的一个法向量，由此能求出二面角E-AD-B的余弦值．

解答： 几何法：
（1）证明：如图，作DQ∥AB交BC于点Q，连接EQ．
∵五边形ABCEF关于线段BC对称，
∴EQ∥FB．
又DQ?面ABF，AB?面ABF，
∴DQ∥面AFB．同理：EQ∥面AFB．
又DQ∩EQ=Q，∴面DEQ∥面ABF．而DE?面DEQ，
∴DE∥平面AFB．
（2）解：∵五边形ABCEF关于线段BC对称，
∴图（2）中延长DA、CB、EF，必交于一点G，
过点B作BH⊥DG于点H，连接HF．
又由五边形ABCEF关于线段BC对称知BF⊥BC，AB⊥BC，
而平面ABCD⊥平面ECBF，
∴FB⊥平面ECBF．∴∠BHF是二面角E-AD-B的平面角．
又∵FE⊥CE，∴AD⊥DC，∴△ABG∽△CDG，
∴

AG

GC

=

AB

CD

=

BG

DG

，解得AG=2，BG=

3

．
在RT△ABG中，BG•AB=AG•BH⇒BH=

3

2

．
∴RT△FBH中，FH=

( 3 2 )2+12

=

7

2

，cos∠BHF=

BH

HF

=

21

7

，
∴二面角E-AD-B的余弦值为

21

7

．
向量法：
（1）证明：由五边形ABCEF关于线段BC对称知BF⊥BC，AB⊥BC，
而平面ABCD⊥平面ECBF，∴FB⊥平面ECBF，∴FB⊥AB．
以B为坐标原点，建系如图．
则 A(0，0，1)，F(1，0，0)，D(0，

3

2

，

3

2

)，E(

3

2

，

3

2

，0)，
所以

AF

=(1，0，-1)，

DE

=(

3

2

，0，-

3

2

)，
∴

AF

=

3

2

DE

，∴AF∥DE，又AF?面ABF，DE?面ABF，
∴DE∥平面AFB．
（2）解：由（1）得A，D，F，E四点共面，

AF

=(1，0，-1)，

AD

=(0，

3

2

，

1

2

)，
设平面ADEF的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • AF =x-z=0 n • AD = 3 y+z=0

，不妨令y=-1，则

n

=(

3

，-1，

3

)，
又面ABCD的一个法向量是

m

=(1，0，0)， ∴cos＜

n

，

m

＞=

21

7

．
∴二面角E-AD-B的余弦值为

21

7

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．