Question

14．设a是实数，f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$（x∈R）．
（1）证明不论a为何实数，f（x）均为增函数；
（2）若f（x）满足f（-x）+f（x）=0，解关于x的不等式f（x+1）+f（1-2x）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用函数的单调性的定义直接证明即可．
（2）判断函数的奇偶性，利用函数的单调性化简求解即可．

解答 解：（1）证明：f（x）的定义域为R…（1分）
设x₁＜x₂，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（a-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}）-（a-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}）$
=$\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}=\frac{{{2^{{x_1}+1}}-{2^{{x_2}+1}}}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$…（4分）
因为${2^{{x_2}+1}}＞{2^{{x_1}+1}}，{2^{x_1}}+1＞0，{2^{x_2}}+1＞0$
所以$\frac{{{2^{{x_1}+1}}-{2^{{x_2}+1}}}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}＜0$即f（x₁）＜f（x₂）
所以，不论a何值f（x）为增函数                   …（6分）
（2）因为f（-x）+f（x）=0
所以f（1-2x）=-f（2x-1）
又因为f（x+1）+f（1-2x）＞0
所以f（x+1）＞f（2x-1）…（9分）
又因为f（x）为增函数，所以x+1＞2x-1
解得   x＜2                   …（12分）

点评 本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的判断与应用，考查计算能力．