Question

13．已知等差数列{a_n}前三项的和为-3，前三项的积为8．
（Ⅰ）求等差数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若{a_n}满足${a_3}^2={a_1}{a_2}$，求数列{|a_n|}的前10项的和S₁₀．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，利用等差数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）当a_n=-3n+5时，不满足${a_3}^2={a_1}{a_2}$，a_n=3n-7，满足条件．可得|a_n|=|3n-7|=$\left\{\begin{array}{l}{-3n+7，n=1，2}\\{3n-7，n≥3}\end{array}\right.$，即可得出数列{|a_n|}的前n项和．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=-3}\\{{a}_{1}（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+2d）=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=-3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-4}\\{d=3}\end{array}\right.$．
∴a_n=2-3（n-1）=-3n+5，或a_n=-4+3（n-1）=3n-7．
（Ⅱ）当a_n=-3n+5时，不满足${a_3}^2={a_1}{a_2}$，
a_n=3n-7，满足条件．
∴|a_n|=|3n-7|=$\left\{\begin{array}{l}{-3n+7，n=1，2}\\{3n-7，n≥3}\end{array}\right.$，
记数列{|a_n|}的前n项和为S_n．
当n=1时，S₁=4；当n=2时，S₂=4+1=5．
当n≥3时，S_n=S₂+a₃+…+a_n=5+（3×3-7）+（3×4-7）+…+（3n-7）
=5+$\frac{（n-2）[2+（3n-7）]}{2}$=$\frac{3}{2}{n}^{2}$-$\frac{11}{2}$n+10．
∴S₁₀=$\frac{3}{2}×1{0}^{2}-\frac{11}{2}×10$+10=105．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、求和公式、绝对值数列求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．