Question

20．为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对高三年级的50名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有22人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占$\frac{4}{7}$，统计成绩后，得到如下的2×2列联表：

	分数大于等于120分	分数不足120分	合　计
周做题时间不少于15小时		4	22
周做题时间不足15小时
合　计			50

（Ⅰ）请完成上面的2×2列联表，并判断能否有99%以上的把握认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；
（Ⅱ）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取5名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；
（ii）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取25人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差．
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）计算平均成绩不足120分的人数，填写列联表即可；计算K²，即可对照临界值得出结论；
（Ⅱ）（i）根据分层抽样原理知随机变量X的可能取值，求出对应的概率值，写出分布列；
（ii）从全校大于等于120分的学生中随机抽取25人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y，则Y～B（25，0.6），计算Y的期望与方差即可．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的人数为（50-22）×$\frac{4}{7}$=16，
填写2×2列联表如下：

	分数大于等于120分	分数不足120分	合　计
周做题时间不少于15小时	18	4	22
周做题时间不足15小时	12	16	28
合　计	30	20	50

计算K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{50{×（18×16-12×4）}^{2}}{22×28×30×20}$≈7.792＞6.635，
所以有99%以上的把握认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；
（Ⅱ）（i）按照分层抽样方法，大于或等于120分的有3人，不足120分的有2人，
则X的可能取值为0，1，2；
计算P（X=0）=$\frac{{C}_{16}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{12}{19}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{16}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{32}{95}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{3}{95}$；
所以X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{12}{19}$	$\frac{32}{95}$	$\frac{3}{95}$

（ii）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取25人，
这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y，且频率为$\frac{30}{50}$=0.6，
由题意可知，Y～B（25，0.6），
所以E（Y）=25×0.6=15，D（Y）=25×0.6×（1-0.6）=6．

点评 本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题，是综合题．