Question

设R表示一个正方形区域，n是一个不小于4的整数．点X位于R的内部（不包括边界），如果从点X可引出n条射线将R划分为n个面积相等的三角形，则称点X是一个“n维分点”．由区域R内部的“100维分点”构成集合A，“60维分点”构成集合B，则集合{x|x∈A且x∉B}中的元素个数是（　　）

• A、1560
• B、2320
• C、2480
• D、2500

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：新定义,集合

分析：根据题目的信息理解新定义是解题的关键．

解答： 解：假设正方形的边长为1，左下角的顶点记为原点，建立直角坐标系
在直角坐标系中如果在n确定时，对应可以求得x的坐标，则此时所有的x就是n维分点
3、先来求集￥合A{X|X为100维分点}，设X（x，y）∈A
可知图中（1）+（2）三角形的面积为

1

2

，（3）+（4）三角形的面积也为

1

2

，所以假设（1）被等分为了m份，则（2）肯定被等分为了50-m份，同理（4）被等分为了n份，（3）被等分为了50-n份；
由于100等分后的所有三角形的面积相等，所以可得等式：

1

2

×x×

1

m

=

1

2

×（1-x）×

1

50-m

1

2

×y×

1

n

=

1

2

×（1-y）×

1

50-n

化简可得：
50x=m，50y=n
x，y的取值为0～1的实数；m，n的取值为1～49的正整数
联立后可得X（x，y）的取值共有49×49=2401种
按照以上相似的方法可以解出
集￥合B{X|X为60维分点}的方程为：
30x=p，30y=q
x，y的取值为0～1的实数；m，n的取值为1～29的正整数
由于集合{x|x∈A且x∉B}，
解得而要求X既属于A又属于B，则要求
30x=p、50x=m和30y=q、50y=n
有解，所以
p=

3

5

×m；q=

3

5

×n
由于p，q要求是1～29的正整数，所以m，n只能取{5，10，15，20，25，30，35，40，45}其中之一，
共有9×9=81种取法
综上为2401-81=2320

点评：本题是考查元素与集合的关系，是一个新定义的题目，抓住题目的信息，理解好题意是关键．