Question

若函数f（x）=ax²+2x+5在（3，+∞）单调递减，则a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：分a=0和a≠0两种情况加以讨论：当a=0时，根据一次函数的单调性得到函数在区间[-2，+∞）上增函数；当a≠0时，函数的图象是开口向下的抛物线，关于直线x=-

1

a

对称，由此建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．

解答： 解：∵函数解析式为f（x）=ax²+2x+5，
∴当a=0时，f（x）=2x+5，在（-∞，+∞）上为增函数，不符合题意；
当a≠0时，因为区间（3，+∞）上递减，
所以二次函数的图象为开口向下的抛物线，关于直线x=-

1

a

对称，
可得

a＜0 - 1 a ≤3

，解之得a≤-

1

3

故答案为：（-∞，-

1

3

]．

点评：本题给出含有参数a的二次函数，在已知函数的单调区间的情况下求参数a的取值范围，着重考查了函数的单调性、二次函数的图象与性质和分类讨论思想等知识点，属于中档题．