Question

16．设函数f（x）=x+$\frac{a}{x+1}$，x∈[0，+∞）
（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当0＜a＜1时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，将函数f（x）变形，然后利用均值不等式即可求出函数f（x）的最小值；
（2）先取值任取0≤x₁＜x₂然后作差f（x₁）-f（x₂），判定其符号即可判定函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，从而求出函数的最小值．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=x+$\frac{2}{x+1}$=x+1+$\frac{2}{x+1}$-1≥2$\sqrt{2}$-1
当且仅当x+1=$\frac{2}{x+1}$，即x=$\sqrt{2}$-1时取等号，
∴f（x）_min=2$\sqrt{2}$-1．
（2）当0＜a＜1时，任取0≤x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）[1-$\frac{a}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$]，
∵0＜a＜1，（x₁+1）（x₂+1）＞1，
∴1-$\frac{a}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$＞0，
∵x₁＜x₂，∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）_min=f（0）=a．

点评 本题主要考查了函数的最值的求解，以及函数单调性的判断与证明，同时考查了计算能力，属于中档题．