Question

11．如图，已知直线l：x=my+1过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线G：x=a²上的射影依次为点D、E．
（1）若抛物线x²=4$\sqrt{3}$y的焦点为椭圆的上顶点，求椭圆C的方程．
（2）若点N（$\frac{{a}^{2}+1}{2}$，0）为x轴上一点，求证：$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{NE}$．

Answer 1

分析 （1）由题设条件知c=1，b=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²=4，进而可得结论；
（2）当直线l的斜率为0或者不存在时，易知结论成立；当直线l的斜率存在且不为0时，通过设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（α²，y₂），通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理计算k_AN-k_EN=0，即得结论．

解答 （1）解：∵直线l：x=my+1与x轴交点为（1，0），
∴椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），
∴c=1，
∵抛物线x²=4$\sqrt{3}$y的焦点为（0，$\sqrt{3}$），
∴b=$\sqrt{3}$，
∴a²=b²+c²=3+1=4，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）证明：①当直线l的斜率为0或者不存在时，
显然点N（$\frac{{α}^{2}+1}{2}$，0）为线段FK的中点，
此时显然成立；
②当直线l的斜率存在且不为0时，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则E（α²，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得：
（a²+b²m²）y²+2mb²y+b²（1-a²）=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2m{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}}$，y₁•y₂=$\frac{{b}^{2}（1-{a}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}}$，
∴k_AN-k_EN=$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}-\frac{{α}^{2}+1}{2}}$-$\frac{{y}_{2}-0}{{α}^{2}-\frac{{α}^{2}+1}{2}}$
=$\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}+1-\frac{{α}^{2}+1}{2}}$-$\frac{{y}_{2}}{{α}^{2}-\frac{{α}^{2}+1}{2}}$
=$\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}+\frac{1-{α}^{2}}{2}}$-$\frac{{y}_{2}}{\frac{{α}^{2}-1}{2}}$
=$\frac{\frac{1-{α}^{2}}{2}•{（y}_{1}+{y}_{2}）+m{y}_{1}•{y}_{2}}{\frac{1-{α}^{2}}{2}（m{y}_{1}+\frac{1-{α}^{2}}{2}）}$
又∵$\frac{1-{α}^{2}}{2}$•（y₁+y₂）+my₁•y₂
=$\frac{1-{α}^{2}}{2}$•（-$\frac{2m{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}}$）+m•$\frac{{b}^{2}（1-{a}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}}$
=-$\frac{（1-{α}^{2}）•m•{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}}$+$\frac{m{b}^{2}（1-{α}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}}$
=0，
∴k_AN=k_EN，即A、N、E三点共线，
故存在实数λ使得$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{NE}$．

点评 本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意解题方法的积累，属于中档题．