Question

【题目】已知函数；

讨论的极值点的个数；

若，求证：．

Answer 1

【答案】（1）当a≤0时，f（x）无极值点；当a＞0时，函数y=f（x）有一个极大值点，无极小值点；(2)见解析

【解析】

：（1）先求一阶导函数的根，求解或的解集，写出单调区间，最后判断极值点。

（2）根据第（1）问的结论，若，转化为证明.

：（1）根据题意可得，，

当时，，函数是减函数，无极值点；

当时，令，得，即，

又在上存在一解，不妨设为，

所以函数在上是单调递增的，在上是单调递减的.

所以函数有一个极大值点，无极小值点；

总之：当时，无极值点；

当时，函数有一个极大值点，无极小值点.

（2），，

由（1）可知有极大值，且满足①，

又在上是增函数，且，所以，

又知：，②

由①可得，代入②得，

令，则恒成立，

所以在上是增函数，

所以，即，

所以.