Question

7．已知命题p：直线x+y-a=0与圆（x-1）²+y²=1有公共点，命题q：直线y=ax+2的倾斜角不大于45°，若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由命题p∧q为假命题，p∨q为真命题可知，命题p与命题q有且只有一个为真，分类讨论满足条件的实数a的取值范围，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：当p为真命题时
联立直线与圆的方程得：2x²-2（a+1）x+a²=0，
则△=4（a+1）²-8a²≥0，
解得：1-$\sqrt{2}$≤a≤1+$\sqrt{2}$…（3分）
当q为真命题时0≤a≤1…（6分）
由命题p∧q为假命题，p∨q为真命题可知，命题p与命题q有且只有一个为真
当p真q假时，1-$\sqrt{2}$≤a＜0，或1＜a≤1+$\sqrt{2}$…（9分）
当p假q真时，不存在满足条件的a值．…（11分）
综上所述，1-$\sqrt{2}$≤a＜0，或1＜a≤1+$\sqrt{2}$…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了直线与圆的位置关系，斜率与倾斜解的关系，复合命题，难度不大，属于基础题．