Question

12．已知a，b∈R，函数f（x）=ln（x+1）-2在x=-$\frac{1}{2}$处于直线y=ax+b-ln2相切，设g（x）=e^x+bx²+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m²-2恒成立，则实数m（　　）

• A． 有最小值-e
• B． 有最小值e
• C． 有最大值e
• D． 有最大值e+1

Answer 1

分析 求得f（x）的导数，可得切线的斜率，结合函数f（x）=ln（x+1）-2在x=-$\frac{1}{2}$处于直线y=ax+b-ln2相切，可得b=-1，a=2，求出g（x）的导数和单调性，可得最值，解不等式即可得到m的最值．

解答 解：由f（x）=ln（x+1）-2，得f′（x）=$\frac{1}{x+1}$，
∵函数f（x）=ln（x+1）-2在x=-$\frac{1}{2}$处于直线y=ax+b-ln2相切，
∴a=f′（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}=2$，f（-$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{2}$-2=$-\frac{1}{2}×2+b-ln2$，
则a=2，b=-1，
∴g（x）=e^x-x²+2，令h（x）=g′（x）=e^x-2x，
∴h′（x）=e^x-2，在[1，2]上h′（x）＞0恒成立，即h（x）在[1，2]上递增，
即g′（x）在[1，2]上递增，则有g′（x）≥g′（1）=e-2＞0，
则g（x）在[1，2]上递增，∴g（1）最小，g（2）最大，
不等式m≤g（x）≤m²-2恒成立，即有$\left\{\begin{array}{l}{m≤g（1）=e+1}\\{{m}^{2}-2≥g（2）={e}^{2}-2}\\{m≤{m}^{2}-2}\end{array}\right.$，
解得m≤-e或e≤m≤e+1．即m的最大值为e+1．
故选：D．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．