Question

4．已知幂函数$f（x）={x^{{m^2}-2m-3}}（m∈Z）$为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则f（x）的解析式是f（x）=x^-4．

Answer 1

分析 由幂函数f（x）为（0，+∞）上递减，推知m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3因为m为整数故m=0，1或2，又通过函数为偶函数，推知m²-2m-3为偶数，进而推知m²-2m为奇数，进而推知m只能是1，把m代入函数，即可得到f（x）的解析式．

解答 解：∵幂函数f（x）=x^m2-2m-3（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是减函数，
∴m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3，
∵m为整数，∴m=0，1或2，
又∵函数为偶函数，∴m²-2m-3为偶数，
∴m²-2m为奇数，∴m只能是1，
把m=1代入函数f（x）=x^m2-2m-3，
得f（x）=x^-4．
故答案为f（x）=x^-4．

点评 本题考查函数的解析式的求法，幂函数的性质的合理运用是关键．