Question

11．函数f（x）的定义域是（0，$\frac{π}{2}$），f′（x）是它的导函数，且f（x）+tanx•f′（x）＞0在定义域内恒成立，则（　　）

• A． f（$\frac{π}{6}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）
• B． $\sqrt{2}$sin1•f（1）＞f（$\frac{π}{4}$）
• C． f（$\frac{π}{6}$）＞$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）
• D． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 f（x）+tanx•f′（x）＞0在定义域内恒成立，可知cosx•f（x）+sinx•f′（x）＞0，可构造函数g（x）=sinx•f（x），求导判断其单调性，即可得到$\sqrt{2}$sin1•f（1）＞f（$\frac{π}{4}$）．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴由f（x）+tanx•f′（x）＞0，得cosx•f（x）+sinx•f′（x）＞0．
令g（x）=sinx•f（x），则g′（x）=cosx•f（x）+sinx•f′（x）＞0．
∴g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上为增函数，
∴g（1）＞g（$\frac{π}{4}$），即sin1•f（1）＞sin$\frac{π}{4}$•f（$\frac{π}{4}$）．
∴sin1•f（1）＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$•f（$\frac{π}{4}$）．
则$\sqrt{2}$sin1•f（1）＞f（$\frac{π}{4}$）．
故选：B．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，由已知构造函数是关键，是中档题．