Question

根据下列条件求圆的方程：

(1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；

(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；

(3)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．

Answer 1

解：(1)设圆的标准方程为(x－a)²＋(y－b)²＝r²，

由题意列出方程组

∴圆的标准方程是(x－4)²＋(y＋3)²＝25.

(2)法一：设圆的标准方程为(x－a)²＋(y－b)²＝r²，

则有

解得a＝1，b＝－4，r＝2.

∴圆的方程为(x－1)²＋(y＋4)²＝8.

法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．

∴半径r＝＝2，

∴所求圆的方程为(x－1)²＋(y＋4)²＝8.

(3)法一：设圆的一般方程为

x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，

则

解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.

∴所求圆的方程为x²＋y²－2x－4y－95＝0.

法二：由A(1,12)，B(7,10)，

得A、B的中点坐标为(4,11)，k_AB＝－，

则AB的中垂线方程为3x－y－1＝0.

同理得AC的中垂线方程为x＋y－3＝0.

联立，

即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10.

∴所求圆的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝100.