Question

设上的两点，已知，，若且椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的离心率的公式及椭圆中三个参数的关系：a²=b²+c²，列出方程求出参数a，b，c的值，代入椭圆方程即可．
（2）设出直线AB的方程，将直线方程与椭圆的方程联立，得到关于x的二次方程，利用韦达定理得到交点的横坐标间的关系；利用已知向量垂直其数量积为0得到两个交点间的另外的等量关系，联立求出k的值．
解答：解：（1）
椭圆的方程为
（2）由题意，设AB的方程为

由已知得：

=，
解得
点评：求圆锥曲线的方程时，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系时，一般采用的方法是将直线方程与圆锥曲线方程联立得到关于某个未知数的二次方程，利用韦达定理来找突破口．